» ГЛАВНАЯ > К содержанию номера
» Все публикации автора
Журнал научных публикаций
«Наука через призму времени»
Июль, 2022 / Международный научный журнал
«Наука через призму времени» №7 (64) 2022
Автор: Макеев Николай Николаевич, Доктор физико-математических наук, профессорессор
Рубрика: Физико-математические науки
Название статьи: К задаче об интеграле многомерного уравнения Лапласа
Дата публикации: 27.06.2022
УДК 517.518.14
К ЗАДАЧЕ ОБ
ИНТЕГРАЛЕ МНОГОМЕРНОГО
УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
Макеев Николай
Николаевич
пенсионер
Саратовская область, г. Саратов
Аннотация. Рассмотрена задача о нахождении регулярного решения уравнения Лапласа в n-мерном евклидовом пространстве, представленного в автомодельной форме. Полученное аналитическое решение представлено в виде потенциалов скалярного поля для многомерных и трёхмерного случаев, определённых на гиперсфере с центром в начале системы декартовых координат. Интегралы уравнения Лапласа получены также в случаях двумерного и одномерного потенциалов с точностью до аддитивных постоянных интегрирования.
Ключевые слова: уравнение Лапласа; скалярный потенциал; автомодельный интеграл; гиперсфера.
В n-мерном евклидовом метрическом пространстве 
или на его некотором
открытом подмножестве введём открытую односвязную область D как открытое связное точечное множество. В этой области
зададим функцию 
а также оператор
Лапласа
действующий в линейном пространстве гладких функций и ставящий в соответствии функции V функцию
(1)
Зададим в пространстве расстояние
(2)
и пусть 
− произвольные
действительные постоянные параметры, связанные зависимостью
(3)
Переменную z, определяемую зависимостью вида (3), называют автомодельной переменной [1, 2]. Рассмотрим случай, при котором функция V, гармоническая в области D, представляется в форме
(4)
где функция 
Ставится задача: найти функцию V, гармоническую в области D и такую, что для всех точек этой области выполняется условие (4).
Введём значения функций при фиксированном
s = p 
(5)
и, предполагая существование зависимостей (3), (4), в силу равенства (2) вычислим при фиксированном значении s = p, согласно соотношениям (5), величины
(6)
Из равенств (6) согласно определяющему соотношению (1) в обозначениях (5) непосредственно следует
(7)
Для суммы, содержащейся в равенстве (7), в силу второго слагаемого выражения величины W2 (6) имеем
(8)
Обозначая величину
представим сумму, содержащуюся в равенстве (7), в силу первого слагаемого выражения величины W2 (6), применяя представления (2), (3), (5), в виде
(9)
Согласно соотношениям (7)−(9) уравнение Лапласа
в пространстве принимает вид
(10)
Рассмотрим интеграл уравнения Лапласа, определённый
при ограничении 
для которого
(11)
Принимая в уравнении (11) все параметры 
за координаты точки 
в
прямоугольной декартовой системы координат
пространства , находим, что эта точка расположена на гиперсфере
радиуса ρ с центром в начале координат. При этом
равенство (11) является уравнением этой гиперсферы,
расположенной в области D, а интеграл (10) − автомодельным интегралом уравнения
Лапласа 
В случае сферы ненулевого радиуса в области D с исключённым началом координат уравнение (10) принимает вид
(12)
Интегрируя уравнение (12) с
ограничением, при котором 
в результате с точностью до аддитивной постоянной
интегрирования получаем
(13)
Если n = 3, то из уравнения (12) с той же точностью следует
(14)
где С1, С2 − постоянные интегрирования.
Соотношения (13), (14) выражают политропический и логарифмический интегралы уравнения Лапласа, соответственно, и представляют автомодельную форму одноимённых потенциалов соответствующих скалярных полей.
Таким образом, согласно зависимостям (3), (4), (13), (14) в результате получаем, соответственно
(15)
(16)
где функция 
определяется
равенством (3).
В особом случае, при котором ρ = 0, из соотношения (3) следует
откуда, согласно уравнению (10), получаем
(17)
Полагая 
из уравнения (17)
согласно выражениям (4), (5) в результате находим
(18)
где 
− постоянные интегрирования. Функция (18), являющаяся линейным потенциалом, удовлетворяет n-мерному уравнению Лапласа.
Таким образом, функции (15), (16), (18), выражающие
потенциалы скалярного поля в пространстве 
составляют решение
поставленной задачи о нахождении интегралов n-мерного уравнения
Лапласа в автомодельной форме, определённых на гиперсфере
с уравнением (11).
В тривиальных случаях, соответствующих частным
значениям параметра 
и 
справедливо решение
вида (15), в котором принимается, соответственно, 
и 
В частности,
при 
с точностью до
аддитивной постоянной для функции линейного потенциала имеем 
Примечание. Статья представляет формализованное обобщение аналогичной задачи, решённой для двумерного уравнения Лапласа; в этой задаче рассматривались свойства напряжённого состояния упругого твёрдого тела [3]. Идея нахождения регулярного аналитического интеграла уравнения Лапласа в многомерном евклидовом пространстве, имеющего симметрическую автомодельную форму, проистекает от характера задач динамики сплошных сред, где она традиционно и эффективно применяется [4]. Этот факт подтверждает универсальный характер применения данного аналитического аппарата, позволяющего результативно моделировать процессы в задачах механики.
Список литературы:
- Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, ромежуточная асимптотика. Теория и приложения. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 256 с.
- Баренблатт Г.И. Автомодельные явления: анализ размерностей и скейлинг. Долгопрудный: Издательский дом «Интеллект», 2009. 216 с.
- Савин С.А. Об одном интеграле двумерного уравнения Лапласа // Прикладная математика и механика, 1951. Т. 15. Вып. 3. С. 392.
- Седов Л.И. Механика сплошной среды. В 2 т. М.: Наука. Т. 1, 1970. 492 с.
Комментарии:
